层论角度的模糊数学

检验之星

初步观点

本来想着学一学模糊数学，毕竟很多年前就听过说，而且尝试学习过，但是，没有学会，因为当时只会数学分析，抽象代数都不会。所以遇见了隶属函数就感觉理解不了。也就不了了之了。
这一次看，有意思的是，我对函数的理解反而太深了，以至于没办法按照作者的意图来学习，而直接使用了抽象函数论的处理方法，也就是把函数视为数学结构上的层或者预层的初等化实现。
由此，我就发现，隶属函数本身代表了集合函数层，由此，通常的二值逻辑，或者确定集合论就是相对而言平凡的层， P(X)\to 2=\{0,1\} ，就像这样是集合幂集的函数层，也就是对每一个集合X赋予一个幂集函数层，这种函数层类似于拓扑空间上的层，只要把集合看作离散拓扑就行了。
而模糊集合论，就是对上面这个层的推广 P(X)\to I=[0,1] ，也就是说幂集函数的取值可以是连续区间，而不再是两个特定的值。由此，模糊数学本身就是一种层论。
这个断言很有意思，因为相比于通常人们接触到的层论，模糊数学反而相当的初等，毕竟其他的层基本都是代数几何层次的数学，对于普通人来说实在是太抽象了。
当然，灵感来自于集合运算与函数运算的关联性。


A\subseteq B\Leftrightarrow C_A(x)\leq C_B(x)
A\cup B\Leftrightarrow max[C_A(x),C_B(x)]
A\cap B\Leftrightarrow min[C_A(x),C_B(x)]
实际上，如果熟知环的理想论，立即就能意识到，隶属函数本身似乎可以看作某种集合的理想。由此集合运算转化为隶属函数的运算，类似于环的运算推广到理想的运算。而理想本身代表了环层空间，是一种环层结构，所以隶属函数应该同样归属于函数层，或者说幂集函数层。
这就是不同理论之间的数学结构类比。
由此，实际上以层论的视角来看待模糊数学可以直接直接解决一个关键问题，模糊数学是数学吗？
显然是数学，而且是非常抽象的纯粹数学，那么以后就没必要讨论什么模糊数学是不是数学这样的问题了。甚至于都不需要有应用理论，他本身就足够数学了。
另一方面则是层论实用化的考虑，毕竟模糊数学本身往往被看作一种应用理论，已经积累了很多应用经验，而层论因为太抽象，基本上没办法谈应用，那么通过这种角度，说不定可以找到抽象层论的应用理论，也就是说层论可以从纯粹数学转变为应用数学。我觉得这个意义要更大一些。毕竟，现在的数学构造太抽象了，学习起来都非常困难，如果能找到一些应用背景的话，可以减少很多疑惑。从实践中直接获得数学规律，不用再去搞什么逻辑推理，结构计算了。
这篇文章就先谈一谈想法，具体构造等学过了再说。实际上，模糊数学本身并不复杂，最大的问题在于人们的接受能力，无法接受这种很不寻常的数学对象。这也是因为他是从应用理论转变为数学理论的，缺乏数学解释。所以很难被通常的数学界接受。
<hr/>抽象的无限延伸【极度抽象，建议跳过，不影响前文】

实际上，考虑一下环论的理论体系，模糊数学体系也不难获得，对于层论来说，最关键的部分就在于局部整体性，也就是说局部的隶属函数如何传递扩张到整体集合上，整体性质与局部性质有何关联和差异，还有就是谱理论，问题在于集合的子集构成的谱似乎太零散了一些，真的能获得有意义的构造吗？
所以，模糊集合论应该不是模糊数学的主体，主体应该具有结构性，也就是模糊代数，模糊拓扑，以及模糊偏序，由此三大数学结构出现之后，可以自然的定义高阶理论，比如模糊抽象代数，模糊分析学，模糊微分几何，模糊代数拓扑，这仅仅是猜测，可能这些理论是无法定义，或者平凡的，不过，按照特殊和一般的关系，确定集合论是模糊集合论的子集，所以确定数学应该都可以建立在模糊数学上。只不过具体建立应该也是很困难的。
就像随机数学体系一样，实际上，我们也可以直接用层论的观点来考察随机集合论，他是一种集合的赋值函数层论， P(X)\to \Omega=[0,1]
看起来好像和模糊数学一样，难怪人们总是模糊和随机搞不清楚，不过还是有差异的，因为模糊数学本身是对集合的子集隶属关系的重定义，而随机数学保持子集隶属关系，对每一个子集赋予一个概率值，所以，我们甚至于可以获得模糊集合论上的随机数学。也就是把两种结构融合到一起。
实际上，考虑到集合层具有某种万有性，因为几乎所有的数学结构都是在集合基础上建立的，所以原则上，我们可以把任意的数学理论重定义在集合层面，获得随机数学体系和模糊数学体系，由此，甚至于可以考虑某些深奥的理论，比如随机代数几何，模糊代数几何。是不是有些大胆，还可以更进一步，获得随机层论，模糊层论，随机范畴论与模糊范畴论。
后面这些理论可能是极度抽象的，以纯粹数学的层面来考虑都是极度抽象的，所以，新的数学思想的引入代表的是数学体系的全面更新换代。
实际上，他们都可以被看作一种层论体系，把层看作集合的基本构造与万有构造，所有的具体数学概念都是层论的平凡化。由此获得抽象层论数学体系，也就是说对每一个集合赋予层之后诱导的具体的数学体系，其中隶属函数层对应于模糊数学体系，概率赋值函数层对应于随机数学体系，而二值隶属函数层对应于确定数学体系，或者说当前公认的数学体系。
那么一般函数层，或者一般范畴层对应的数学体系就是远远远远超越了人们想象的东西。是无数具体数学体系的母体。或者说基础。
到这种层面，实际上才稍微触及了高阶范畴的意义理论。也就是说对集合赋予层意味着对范畴叠了一层范畴，也就是二范畴，二范畴的意义即为无数具体数学体系的基础理论。
这种程度实际上触及到了某种认知壁垒，因为不能简单的套用上面的过程来获得三范畴的意义理论，数学体系的母体是什么东西，根本没有人知道，无数母体的再次共同抽象，就是不知道的不知道了，这就是意义的不可及性。人们只能先找到这个母体，宣称他对应于某种现象，然后人们才能继续去抽象，宣称他是某种更加一般的现象的特例。不然，抽象的谈无穷的无穷，谁也不知道他是什么东西，是否存在，即使存在，也找不到他的对应物。
所以，这就是数学的某种上限，依赖于人的认知与实践范围。这也是为什么数学哲学层面的东西只有数学水平很深的时候才能理解的原因，脱离了有效理论和可触及意义，数学哲学是没有意义的。
总之，上面也算是通过概念层面的推理，将层论思想推广到了某种难以想象的地步，实际使用的话，不需要这么高深的东西，只需要集合的层论就行了。也就是说考虑层化集合上的数学构造。看一看层的性质与集合的性质是如何相互作用的。其实，通常人们考虑的是拓扑空间层，这也是标准定义，这就太局限了。
就这样吧。
体系性刻画

本来想的是，稍微提出一个观点，做一些有益的尝试，不过，我发现模糊数学是一个很好的试验场，可以用来阐述一些真正深刻的东西，如何在数学体系的高度来认识和构建数学理论。这些东西过去没有机会讲，因为人们资质太差，水平低，见识少，只关注于只鳞片爪的东西，根本就不具备整体视角与体系认知能力。那么接下来，我会讲解一下如何从集合论开始构建出一个完整的数学体系。
发现一个问题，数学体系太大了，没办法迅速的获得。所以先讨论一下基本原则，然后讨论具体数学理论，最后再给出全面描述。
数学体系指的是从集合论开始构建所有数学理论的过程，所以包含这几块，数理逻辑，以特定集合论为对象，演绎逻辑构造的理论体系，称之为模糊逻辑学，关系代数，也就是在n元直积集合上的代数构造，对应于集合代数理论，最基本的是一元集合的代数构造，也就是基础集合论，交并补，对称差，一元集合的代数空间往往可以看作布尔格，因此归属于格理论与序理论的范畴，模糊一元集合因为不满足补性质，也就是说集合与补集构不成全空间，所以是分配格，相比于布尔格性质差一些，所以模糊一元集合的代数理论相比于通常的代数理论要复杂和抽象。然后是二元集合的代数空间，这就是抽象代数学，因为几乎所有的抽象代数构造都是二元运算，也就是特殊的二元关系，所以模糊二元集合的代数理论就是模糊抽象代数理论，分为多个层次，关系代数与一般矩阵代数，原群理论，半群理论，幺半群与幺半范畴，群论，环论，模论与线性代数和向量空间理论，环代数理论，域论，算子代数与运算完备化理论。然后是n元直积集合的一般代数学，属于泛代数与运算子理论【operad】的范畴，由此，模糊数学体系的抽象代数与泛代数理论体系就建立了。然后是分析理论，分析实际上为函数论，即无穷集合上的拓扑代数，所以首先需要定义模糊拓扑理论体系，拓扑为幂集代数，在集合幂集层面定义的运算关系，所以归属于层论，属于抽象层论，那么一般拓扑理论就是抽象层论，代数拓扑理论为结构层论，也称为几何层论，微分拓扑为层的函数论。这三种抽象理论目前还是鲜为人知的。因为层论基本上都需要抵达代数几何层面才会完整学习。那么这一理论体系可以称为模糊拓扑理论，模糊层论，模糊代数几何。然后是范畴论，范畴论为数学构造学，实际上为代数拓扑图景的抽象化，属于概念数学层级，也就是说在概念层面操纵数学对象，面对的论域是数学体系族与数学理论族。模糊范畴论实际上意味着一种具体范畴论，而不是抽象范畴论，也就是说范畴论本身不依赖于具体的集合论构造，他本身就可以看作数学基础。这也是这篇文章可以成行的原因，在抽象范畴论的层面下，模糊数学可以被完整的考察。
由此，似乎只有几何理论没有深入考察了，实际上几何学属于代数拓扑的范畴，是一种规则拓扑构造，满足特定对称性的曲线，曲面，曲体，所以在拓扑学层面考察几何就行了。
上面就大致刻画了模糊数学体系的基本理论体系族。
以这种角度来考察数学理论族就是整体性与体系性认识。能够熟练运用这种认知方法，数学领域尽在掌中。颇有一种掌中世界的味道。
超越的再超越【数学道路的无限性】

然后是数学万有化，也就是以掌中世界演化现实世界，将所有的现实对象分解整理为数学对象，由此获得世界的数学化，任意现象皆为数学现象，任意理论皆为数学理论，这就是初步接触到万有层面的数学。
还有就是角度切换，从确定到随机，从随机到模糊，从模糊到演化，从演化到规则生成，可以将世界看作多个不同构建模式世界的综合，由此一世界即为无数世界，每一世界都可以建立数学体系，对所有的数学体系综合考察获得的就是真正意义上的数学万有理论。这个层面才是完全进入到了万有层面的数学。其上还有，那就是超认知数学，以未知为基础，而不是以已知为基础，获得的远超人类所能及，甚至于一切有限认知所能及的超越性本体，这时才开始触及到无限与超越。算是一个比较合理的终点。
先到这
层化集合论

开始一些实际的构建工作，虽然看了一些模糊数学相关的理论，但是感觉不太对，思维太陈旧了，基本上是经典数学体系的重新演绎，这样的理论可以说没什么深刻的价值，并不能帮助一个人触及到更高的层次。
比较合适的处理方法就是代数几何方法，也就是说我们需要重新考察集合范畴的构造，他不是简单的范畴，对象是集合，态射是函数，而是一种抽象的层构造，也就是说集合本身可以看作一个集合层，就像环本身可以看作环层一样，环层的元素是理想，素理想，集合层的元素就是子集，也就是说集合可以看作以子集为谱空间的结构，称之为 Spec [X] ，这就是代数几何思想在集合论的重演绎，集合论应该被看作一种层论，层化集合论，集合也应该被看作层，所谓层化集合。由此，很多集合论构造就变得显然了，他们不再是零碎的逻辑命题，而是集合结构性的体现。
比如，我们可以直接定义集合的局部化，类比于环的局部化，我们将目光局限于子集，就像环论中把目光聚焦于理想一样。获得集合的局部化，实际上就是子集，虽然绕了一大圈，但他就是子集，而不是环论中的局部环 R/A_p ，其实，考虑一下集合函数就行了，集合函数在局部的取值就是限制函子的作用
f:X\to Y\\ Res:f|_A:A\subseteq X\to Y
所以，很多集合论构造就是函子的体现，类似的，我们可以获得很多种类型的函子
一元函子
f:Spec [X]\to Spec[Y]\\ f^{\leftarrow} :Spec[Y]\to Spec [X]
实际上就是像函子与逆象函子，他们可以构成伴随函子对。
多元函子
实际上就是集合运算
\cup,\cap :Spec[X]^2\to Spec [X]
当然了，更常见的是将集合的谱写作幂集，即幂集函子就是集合的谱函子
P=Spec  
函子表述
f:X\to Y\\ P(f):P(Y)\to P(X)\\ Spec(f):P(Y)\to P(X)
由此就能获得一些熟悉的构造，但是，我们需要牢记，我们是以代数几何的方式来考察集合论的，所以将幂集看作集合的谱空间会更加自然。
实际上，我们完全可以仿照理想谱理论，给出多种不同层次的抽象，比如素谱，极大谱，不可约谱，他们对应于集合论的那些谱呢？
由于集合的结构太弱，所以，没有最自然的多层次谱结构，不过可以获得包含某个基础子集的诱导谱结构，也就是说包含了某一个子集的所有子集可以构成一种特殊的谱。
实际上，数学结构的谱结构是对拓扑结构的自然刻画，也可以认为是对序结构与格结构的刻画，为什么是谱，而不是序列？因为拓扑实际上是偏序集，不是所有的偏序集都可以被定义为序列，所以刻画偏序集的最自然的理论就是谱理论。有重叠有分叉有层级。
因此，实际上我们就获得了一种抽象数学理论，关于偏序集结构的抽象谱理论。任意具有偏序结构的数学对象都可以建立相应的谱理论。而这就是代数几何体系带给人们的最大的认知突破。数学不仅可以研究单个对象，多个平等对象，一个对象序列，还可以研究对象构成的偏序集。所以，从集合到序列，再到偏序集，代表了数学研究层次的深入。
所有的现行数学理论都可以获得偏序集版本的高等理论。将这样理论深化完成之后，获得的就是代数几何思想为主导的全新的未来数学体系。
很有意思，这意味着，未来已经到来。以偏序集与谱理论为基础改写所有数学理论，这就是未来的数学体系。偏序集本身可以被理解为序结构，格结构，函子结构，层结构，以及谱结构，这就是未来数学体系的基础数学结构。将取代现行的代数结构，拓扑结构以及序列结构。由此所有的数学理论都将在偏序集层面展开。
这就是层化集合论所展示的一种前景。实际上，这一套东西并不新，因为如果接触过高阶范畴论的话，可以发现，数学家已经开始使用偏序集为基本的数学结构，称之为范畴的脉，只不过，这些理论太过抽象，所以知道的人很少，推广不开，推广不开的理论是没有社会意义的，只能是个人趣味。
虽然距离我想象中的图理论差距还是很大的，不过在偏序集层面已经有足够丰富的数学现象可以研究了。比如函数空间的偏序结构，人们思考过这个问题吗？应该是考虑过的，但是因为复杂性太高所以没有下文，反而搞出来了所谓的序巴拿赫空间，把函数退化为了点，这样理论几乎没有意义。这就是认知层面的差异，如果这些数学家理解了层论的观点，将函数空间看作一个环，使用局部整体，关联，坐标环的术语来改写，这些理论会大不一样，当然，你不能说没有人这样做，因为顶尖数学家多的是，把代数几何思想应用其他领域也是容易实现的事情，但是，问题就在于，预设了人的知识水平，如果没有学过代数几何，那么不好意思，这个理论你不可以学，因为大量借用了这个领域的术语，不理解这些术语寸步难行。比如盖尔范德理论，就是把环论给应用到了分析学上，获得了杰出的成果，做出了很大贡献。所以，理论与思想的推广与泛化是很自然的事情，只不过，能够理解这些思想的人太少了，所以，即使有成熟理论，通常来说没办法学习和普及。
还比如说，算术微分几何理论，这是当初让我感到惊讶的理论，将算术代数几何的东西应用到微分几何上，这种理论基本上没有人能学会，难道需要先花费五到十年学习算术几何吗？很不现实。即使有这个能力，也没这个时间。
所以，很多时候，要构建出来一些抽象的数学理论非常容易，但是问题在于之后呢？搞出来之后就不管了吗？然后因为没有人学得会慢慢就失传了吗？所以，数学领域一直在变化，无人关注的领域在慢慢消失，热门的领域在蓬勃发展。所以几十年过去后，可能会发现当初的研究领域直接消失了，又冒出来很多新的研究领域。这就是数学研究体系的无常性。变化无处不在，没有变化反而是最不可思议的事情。
总之，上面也仅仅是一个想法，他可以成为现实，因为这些理论都是自然而然的，具有逻辑上的真理性，但是，目前的人可能无法接受这样的理论，因为水平有限，太复杂的东西学不会。
实际上层化集合论是非常关键的一步，因为只要集合可以被层论化，就意味着所有以集合为基础的数学理论都可以层论化。这会导致深远影响。如果层论只局限于代数几何，他的影响力是很有限的，只要我不关心多项式，我就不需要学习层论。然而基本上所有的数学结构都定义在集合上，那么层论就是必须掌握的基础知识了。就像当初集合论的诞生一样，集合论诞生前后，数学世界是截然不同的。这就是数学体系变更。
不过，有趣的是我并不关心这样事情，也没有推动的想法，数学体系发展如何和我有什么关系呢？当然不能说没关系，只是，没有太大意义。我所关注的是数学万有化，也就是如何使用数学描述一切现象，将一切理论转化为数学理论。而且是有效的，本质的数学理论，不是那种简单的名词替换。这个目标显得非常的超越现实，不可思议。就好像一个人宣称他要测量地球上的每一粒沙子一样，连听到这样的说法都感到难以置信。这才是有意思的地方，将不可思议转化为现实才是有趣的事情。这就是幻想现实化。
实际上，我之所以关注模糊数学，是因为，我认为模糊数学或许可以用来构建认知的数学理论，或者艺术的数学理论。从而实现艺术的数学化，这是数学万有化的一个子目标。可惜的是，这个体系发展太乱了，到现在也是很原始。这就是实现目标的最大困难，人类的科学技术水平太低了，以至于即使原则上可以实现数学的万有化，实际上往往实现不了。之前关注于医学的数学化时也是如此，医学的交叉领域与融合领域研究太原始了，以至于想要获得一个整体的理论体系都是不现实的。
不过，虽然很多设想是实现不了的，在当前条件下去探究他的可能实现方式本身就是很有意义的事情。把一切现象的数学理论化以可能实现的方式研究一遍，其实都已经抵达了不可思议的境地。代表了局限性的全知理论，即以人类认知的限制下所能触及的最大的可能性认知。把这种认知和某种永恒存在做对比，就能发现人类的整体认知上限。虽然也不知道了解了这个有什么用。就好像一个星际文明考察地球文明的认知上限。然后会如何呢？不知道，只能说很多东西本来就是没有意义的，获得了全部意义的同时就直接引入了无意义的状态，所谓的空性，所以，大概也算是万有皆空的一次尝试吧。
稍微一展开就多了，篇幅一长我看起来都费劲。看一遍估计都得花费几十分钟。就像之前的那篇文章，代数几何学习笔记，发现包含的东西是真的多，很多内容回看之下也是很有意思的，当初能写出这样文字也是很厉害的。
认知层论

然后稍微谈一谈如何把认知给层论化，这是认知数学化的一个尝试，也可以看作层论角度下的模糊数学的一种应用。
实际上，层论反映的是局部整体关系，认知本身也具有局部整体性，所以将认知层化是很自然的事情，以前之所以做不到，是因为思维定势，认为隶属函数只能是二值函数，非黑即白，超越了这种思维局限后，就会发现，很多时候人们发现的数学理论是有问题的，是将复杂的世界给二值化了，这也是为什么当前的科学出现了很多问题，总是有一种极端化思想，非要最好最优，实际使用的时候发现状态百出，还是得保留某种模糊的地带，就像工程学上的那样，需要保留足够的余量才能应付各种难以预料的情况，这些突发情况在数学上没办法处理。为什么？因为非黑即白，如果要考虑意外情况，现有的数学理论要求把事情说的一清二楚，这是不现实的，所以没有办法考虑，这就是数学的局限性。
而在模糊数学中，保留了这种余量，如果存在不清楚的东西，那就用不清楚的概念来刻画，这种概念就是模糊。
所以，模糊数学代表的是世界观的改变，过去的数学世界观太分明了，分明的不像现实，和现实不一样，而模糊代表了现实，但是引入了复杂，毕竟模糊到底是怎么定义的呢？模糊之间亦有差异。就像每个人的认知都是模糊的，但是不同人的认知更不一样。所以不能简单的用模糊这个词形容所有的不清晰。也就是说有的地方可以模糊，但是有的东西就必须分明。如何处理这种关系才是最困难的事情。
数学其实很简单，模糊才是困难的地方。
所以现有的模糊数学往往无意义，根据实践论，每一次具体实践都是不同的，随时空，条件而转移，所以模糊函数也是变化的，随时空，条件而改变，所以，这种数学更应该称之为玄学，玄妙的学问，玄妙的地方就在于用一个确定函数来刻画一个复杂的现象。这东西可不是普通人能实现的，非得是实践高手。
因此，秉持西方哲学思想的人往往很难接受这种数学，觉得太难以捉摸了，他们最纠结的地方就是隶属函数从哪里来的，为什么要这么取？为什么起作用？有没有发现，这分明就是中医学的遭遇，为什么随便几个东西一搭配就管用，我自己搞得就不管用，明明大家都不知道精确的原理。别提什么君臣佐使，药性匹配的，都是玄学，都是假的。
很有意思。
认知其实也是这样的东西，它本身包含了太多的东西，人们对所有事物的认识构成了人的认知，所以每一个人的认知都具有无穷的复杂度，使用精确概念完全刻画是不可能的事情，也可以认为人类的科技水平太低，无法同时模拟极大量参数的数学模型。毕竟虽然说的是所有的事物，实际上他有一个数量上限，可能是几万种类别，或者几亿种类别，他并不是无穷种差异，但是人们是无法使用如此多参数的模型的。
因此模糊数学实际上是一种折衷，因为现实太复杂，所以想要提取出一个有效模型来简化，问题就在于如何获得这个有效模型。
通常人们想的是统计学，统计所有的现象，获得某种规律，但是统计学依赖于样本，样本量不够，无法反映统计规律，就像古代的命理学一样，有人说他是统计学，确实有一定根据，观察的足够多了总能获得经验，这些经验是没办法知道其中的道理的，而且会出现误判，但是是有效的。然而，这样的理论是不精确的，甚至于很多人都无法接受，认为是假的，没有道理。
实际上，这也反映了中西方哲学的根本差异，西方总是认为事物是可以穷究到底的，存在原子，原子不可分，然而东方认为事物是相互作用的，不存在原子，而是阴阳和谐，所有事物都可分。因此，同时掌握这两种哲学思想是理解模糊数学原理的关键。这就是东西方哲学的融合。是非常困难的事情，当然，我早就融合完了，虽然最初我的说法是，世界观并置，没有去融合他们，而是需要那一个就认为哪一个对，互不干涉。
现在的话，则是可以自由的转换，这也是为什么我能够同时写数学和中哲，甚至于可以用数学来解释哲学，用哲学来体现数学。只是，虽然融合完成了，我认为人们是没办法融合的，需要一些超越性的东西，至少需要明白什么是空性。
实际上，过去我也写过很多相关的东西，属于非线性数学体系，一等于无穷，所有事物同一。只不过因为角度不同而产生差异，人类认知也仅仅是以人类的方式定义的世界的存在，以其他认知考察，世界会以不同形式存在，然而这些东西是没办法写的，世界观差异会成为最大的限制。
中哲和西哲的根本差异就是世界观差异，两个世界的人被迫进行直接交流，冲突摩擦不可避免，而且由于这两种哲学几乎属于哲学的两个极端，所以极难融合，会直接超越某种层次，体现一种超越性。这种超越性不是普通人能够承受的。会直接摧毁所有的固有认知，几乎相当于认知层面的破碎与重建。举个例子，如果一个人最在乎的东西被毁掉了，他会如何？可能直接就发疯了。这就是风险，所以，有理念冲突，保持距离即可，想要去融合的话，风险反而很高。
认知的层论，就是说世界是一个集合，所有的现象都是子集，人们对所有现象的认知就是不同的模糊函数，或者说隶属函数，这样的隶属函数具有整体相容性，就像普通人的认知不会出现太大的矛盾，这就是正常人的认知的数学描述，而不同人的认知代表了不同的集合隶属函数层，他们之间的相互作用就是认知碰撞，有时候是局部差异，也就是说这个人在这个领域认知深刻，在另一个领域就肤浅，另一个人可能正好和他相反，在这个领域肤浅，而另一个领域深刻，这就是认知差异性，也称之为集合函数层的差异性。
自然还有认知层级，也就是说层之间具有序关系，存在高级的层与低级的层，高级的层，实际就是对基础层的加细，也就是说他可以认知更丰富复杂的现象，就像有的人见多识广，和同龄人相比，认知非常深刻，这就是高级认知，普通人就是低级认知了，这就是认知的序关系，呈现为集合的加细。高阶认知可以兼容低阶认知，而低阶认知无法理解高阶认知，就像一个人只认识自己家附近的环境，有的人就能把自己所居住的城市的环境都认识了，那显然后者认知要更深，出去玩很有经验。类似的，在数学上，有人只学了数分高代，有的人深入学习了抽象，微分几何，那么后者认知要深刻。
所以将认知看作数学中层其实很自然，最重要的是具有结构性，而且可以通过数学原理来刻画认知的原理。这就是认知的数学化。
举几个例子，
比如，我们知道层论中存在层间映射，那么不同认知结构之间是否具有认知映射呢？这就是很有意思的问题，肯定存在，这是认知差异，对同样现象的不同理解方式，层间映射就刻画了这种理解方式的差异，实际上，更自然的表达就是领域联系函子，层间映射就可以看作一种函子，所以这种从数学上支持了函子联系不同理解方式的事实，所以函子是领域联系的自然体现，这就可以看作认知层论的一个定理。
还比如，我们知道认知可以发生变化，那么在层论中如何描述这种现象呢？这个问题相当有意思，因为通常来说数学中还真没有考虑过层的变化理论，也可以称之为层的时变理论，因为数学通常被认为与时间无关，虽然有一个专门的领域动力系统研究数学对象的时变结构，就是知道的人太少了。那么，我们可以认为层本身可以看作一种几何结构，就像物理中的场一样。认知的改变是通过某种契机实现的，这种契机就可以被刻画为物理场的某种扰动，导致了场的变化，这种变化后的场就是改变后的认知。这就是从认知角度给出来的新的数学领域。称之为层的动力学理论。
所以，非常有意思，认知被数学化之后，可以获得大量的新理论与新定理，这些新的东西甚至于是从未有人考虑过的。这就是数学万有化的力量，一方面可以严格化系统化具体科学理论，另一方面则是可以从这些科学中获得启发，发展新的数学领域。这是相互促进的关系。
总之，所有有关模糊数学体系的科学理论都可以用层论来解释，而且这种解释会带来难以想象的丰硕回报。促进科学和数学体系的发展。有兴趣的自己去尝试就行了，这里也仅仅是举一个例子。
篇幅一下超越一万字了。这就是麻烦事，太细了，篇幅就很长，太粗了，人们又看不懂。
其实，上面这么长的东西都可以被简化为一句话，
模糊数学即为层论的一种意义载体。
模糊加层论等于现实。
所以，古人写的东西，往往就是这么简单，惜墨如金。现代人就需要很长很长的文字来帮助理解，所以，现代人可能不如古人聪明。但是也不能这么讲，因为古代的文字只有读书人懂，现代的文字，普通人也能看懂，这也是一种进步，知识的普及化。
认知的向下延伸

有时候，人们很难理解普通人的想法，甚至于很难理解不太正常的人的想法，这些人自然也具有对应的认知模型，在他们自身的认知中所有事情都是合理的。
这就是认知的向下延伸，也就是说不再去追求认知的提升，而是寻求对低认知的理解，从而理解普通人的思维，甚至不太正常的人的思维，比如心理障碍，或者精神疾病。这可以称之为病理认知学，也就是说认知模型会出现哪些疾病，导致认知偏差。
依然按照认知层论的方式考察。
首先，普通人的认知，主要的特征就是局部有效，整体无效，多个局部互相矛盾，也就是说普通人的认知层不具有整体性，局部和整体是割裂的，所以这种认知层不是层，而是集合的直积，将许多种不同的思想强行放在一起。
比如说，有人说钱能买到一切，这代表了一种认知，但是同时又说，没有权力事情就办不好，这又是一种认知，然后还要说，长得漂亮才能生活的好，这是第三种认知，这个人很厉害，同时认为这三种观点是正确的，然后他的认知模型就出问题了，当询问他钱能买到权力吗？他就像死机了一样，大脑出现了矛盾，于是变得手足无措，甚至于恼羞成怒，说这两者不能放在一起比较。
这就是问题，当一个人的大脑塞进去了多种互相冲突的认知模型，那么发生冲突的地方就会导致这个思维的死点，脑子不转圈了，变成了情绪控制的生物，理性失效了。
这就是一种有问题的认知模型，称之为局部整体的不兼容。其实大多数人都是这样的，脑子里充满了各种互相矛盾的概念，做事的时候就感觉很迷茫，好像所有人说的都对，但是他们又是彼此冲突的。
如何解决这种问题呢？那就是认知的世界观化，选定一种认知模型，将其用来解释所有事物，获得没有矛盾的体系，实际上这就是哲学做的事情，将一种观察角度应用于整个世界。获得可以解释一切的无矛盾模型。
因此，学习哲学对于认知的提升有很大的好处，可以化解世俗认知的矛盾，将这些矛盾全部化解之后，世界的逻辑性会非常清晰。做任何事情都能心中有谱，知道应该如何做，向哪一方面努力。
又比如说，有人童年遭遇了心理创伤，对某一东西非常恐惧，比如当众发言，他的认知模型也会出现问题，所有与当众发言相关的事情都会变得令人不安与恐惧，比如自己的着装，需要非常注意，因为如果没有整理好，会被别人当着很多人询问，自己被迫需要回应，这种回应就是当众发言的一种变体，会带来恐惧，令人不安，所以这样的人可能会尽可能的跟随大众的风格，不敢暴露个人特点，这也是一种有问题的认知模型，问题来源于心理创伤，所以，心理如果有问题的话，认知也会出现明显的问题。心理相关的认知模型缺陷往往是局部性的，也就是说有一个敏感源，触碰到这个敏感源才会出现问题，不去触碰，就像正常人一样。
这样的一类人其实在社会中占比非常大，因为几乎每个人的童年生活都不幸福，难免会留下心理创伤，需要一辈子来疗愈。不过，人们之所以还可以继续生活，是因为，只要这些心理问题不影响通常的社会交流，就不会带来太大的麻烦。
还有人，出现的就是社会适应障碍，不敢与人交流，不愿与人接触，这些心理问题就成为了心理疾病，因为严重影响了生活，没办法独自生存，这就是必须干预的程度了。这样的人其实也不少，有一部分原因是，学生阶段的长期非社会生活，只关注于学习，却没有意识到适应社会环境的必要性。所以很多学生会出现这样的心理问题。
如何处理呢？很难，实际上所有的心理问题都来源于恐惧，他们对他人的恐惧来源于曾经的悲惨经历，被人羞辱，被人伤害，痛苦无助，这些刺没有拔除，心理问题只会不断复发。所以，他们需要鼓起勇气，接受被伤害的事实，然后逐渐敢于被伤害，不害怕被伤害。有一本书《被讨厌的勇气》，就讲了很多相关的东西，你做任何事都必然有人会讨厌你，不做事都有人讨厌你，回避这种讨厌是没有意义的，而应该逐渐的习惯与适应，变得不再畏惧于别人的评价。这样才能真正的从阴影中走出。所以，很多知名的人物，评价往往两极分化，讨厌他的人非常多，喜欢他的人也非常多，然而这些评价并不会阻碍他的进一步行动。
所以，认知往下走，就是认知缺陷与心理疾病，了解了种种病与缺陷，才能更好的认识到自己的问题，以及他人的想法。
实际上，整个世界可能都不存在心理完全健康的人，一个原因是人本身就带有很多毛病，喜欢偷懒，觉得自己是最聪明的生物，有各种生理性的欲望。一个原因是社会本身也是有很多问题的，资源的不平衡，出身不同，各种歧视，各种差异。所以，在这样的环境中，每个人都会带有某种毛病。只要不影响正常生活，也没什么大不了的。反正大家都是这样凑活着过日子。
挺有意思的，认知向上代表了目标，超越，以及变得更好，认知向下代表心理问题，认知缺陷，纠正方法，可以理解其他人。这两者结合在一起，获得的就是认知理论，可以用来理解其他人的心理，想法，行动，可以用来纠正自己的心理问题，认知缺陷，由此，就会慢慢理解了何为人类，何为社会。想要在社会中混的如鱼得水，这是不可或缺的知识。
虽然，有时候知道的太清楚，反而就不想去搞了，就像游戏通关之后，就很难有兴趣再去玩了。毕竟还有很多新游戏，还有更多没有见识过的世界。
总之，认知理论，懂了之后可以不用，但是不懂的话，一定要搞懂，不然的话，做事情容易遇见很大的困难。
<hr/>忽然想起来了，这篇文章还没有写完呢。
模糊数学的体系性刻画

实际上，我之所以要写格论，是因为在模糊数学的预备知识中发现，格论似乎没有我想象的那么难，从偏序集到布尔格，分出了几个典型概念，半格，格，完备格，模格，分配格，布尔格。
而通常的集合论属于布尔格层面的理论，也就是说集合代数属于布尔代数，而模糊集合论属于分配格层面的理论，模糊集合代数就是分配格，自然的就会考虑，什么样的集合论对应于模格呢？毕竟集合在交并运算下肯定构成格，所以集合代数应该是特殊的格。但是，让人疑惑的是，集合的补运算的不成立对应于隶属关系的非二值性，这种推广本身超越了人的接受能力，实在是太奇怪了，一个东西可以被称为模糊，既不是真又不是假，属于真假之间，所以模糊数学对应拓展人的认知水平具有很重要的作用，但是反过来就意味着极少有人能够接受和使用这样的理论，因为超越了数学的历史性，历史上的所有数学理论都是确定数学理论，不存在模糊数学理论。他是一种全新的构造，意味着全新的世界。
所以这也是为什么模糊数学总是以数学体系的形式体现，因为所有的数学构造和理论基本上都要调整，现有的数学体系没办法使用，那只好重新构建一个新体系了。
这是坏事，但也是好事，因为着数学领域多出来一个认知层次，以数学体系为基础的认知层次，他超越了具体理论，理论族，现有数学体系，而是在无数可行数学体系的角度下探索数学现象。虽然我很早之前就已经意识到这件事了，而且也专门阐述了世界观数学这样的极抽象理论体系，但是，没有例子，所以能理解这种想法的人就非常少，虽然已经很长时间，基本没有人能够看懂。模糊数学则是以一个无可否认的实例来佐证世界观数学理论体系的有效性，人们可以按照不同的哲学观念来构建不同的数学世界，获得不同的数学体系。
确定数学的世界观代表了非黑即白，而模糊数学的世界观允许灰色的存在，处于黑白之间。这本身就是两种哲学认识，他们实际上没有高低之分，知道为什么吗？因为现实世界就是模糊的，然而即使人们没有发展出模糊数学体系，照样可以通过确定数学体系来指导实践，为什么？因为实践经验，人们在理论转化为实践的过程中主动引入了模糊条件，留出一些余量，预估一些意外情况，将其称为工程经验，所以现有的数学理论其实是不能直接用于工程实践的，必须构建对应的工程理论，来控制难以预测的变量。所以即使懂了数学原理，想要把工程问题解决好通常是不现实的。需要在实践中掌握好边界与平衡。
因此模糊数学体系可以对应于工程实践的数学化，将那些难以形容的经验统一内置于隶属函数中，但是，具体如何做，还是很难形容的，毕竟工程经验也是需要不断更新的，新的条件，新的设备，新的材料会诱导新的工程理论。所以，即使模糊数学顺利建立了，他的内容也是需要不断更新的。因此，他并不是人们传统认识上的数学理论，而是时变的数学理论，随时间条件而改变。
不过，虽然一直在变，数学框架具有某种稳定性，就像向量空间理论一样，在许多科学领域都会使用，而且都很实用，这个框架不会因为内容改变而失效。所以，能够刻画这种稳定性的框架的数学理论是极具实践意义的，实际上这就是形式数学理论，不关心内容，只关心数学形式，形式成立则理论成立，不论他的具体实现有多么的抽象和复杂。由此，纯粹数学其实比应用数学更具有生命力。
而具体的体系，其实之前也讨论过了，是按照数学逻辑学，关系代数学，拓扑学与几何学，分析学的形式建立的，所以，每当人们发现一种新的观察角度时，首先发展的就是XX分析学，比如p进分析学，随机分析学，模糊分析学，然后就是逻辑学，比如模糊逻辑，拓扑逻辑，而代数学往往不容易建立，比如随机代数学，模糊代数学，通常只有一个名字，而没有理论，代数的结构性太强，所以很多基本公理一变就会大变样，很难搞，p进代数学，实际上就是离散赋值环，他和通常的代数学很不一样，还有就是p进群论，这个理论其实还没有建立起来，因为素数阶群基础上不能直接建立任意群论，因为有限单群除了p群外还有很多其它类型的群，他们需要被p化。模糊代数学甚至于只能在基本的二元n元关系上搞一搞，想要搞出一个结构理论都非常困难。毕竟代数运算结果是模糊的本身就是非常令人迷惑的表述，代数运算结果都没有确定性，还能称之为代数吗？
所以，代数学是数学体系发展成熟的象征，很难在早期数学研究阶段搞清楚，就像抽象代数也是人们摸索了几千年才最终建立完成，而一旦完成就迅速构建起来了以抽象代数为中心的现代数学体系。所以其他形式的数学体系一旦完全建立某种类似于抽象代数的理论，这个体系的各个具体领域也会迅速成熟。
其实，我怀疑范畴论是在所有的数学体系中都有效的理论，他本身就是形式理论，不关心内容，所以可以任意改变内容而不影响理论的有效性。所以，范畴论是深不可测的，现在人们学习和研究的仅仅是现有数学体系的范畴论，任意数学体系的范畴论会是什么样子的呢？这就不容易想象了。上面其实我做了一些尝试，使用层的概念赋予不同数学体系以层结构差异，由此，层上的范畴论或许就是任意数学体系上的范畴论。我觉得还是很有道理的。而层上范畴论实际上和拓扑斯差不多，所以，或许我应该深入学习一些拓扑斯理论的知识。过去仅仅是粗略的看了看，很多概念都不理解。那么这就是新的目标，理解拓扑斯理论。

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